光学中的半幅傅里叶变换

引入

总所周知，不存在绝对意义的单色光，任何实际单色光都有一定的频谱宽度，现在讨论一下如何通过一个迈克尔逊干涉仪来测量单色光的频谱形状。
首先对于一单色光有以下函数存在$i-\lambda$函数，其中$I$是光强，$\lambda$是波长。总光强满足

$$I_0=\int_{0}^{\infty}i(\lambda)d\lambda\tag{1}$$

使用$k=2\pi/\lambda$带入

$$I(k)=C\int_{0}^{\infty}i(k)dk\tag{2}$$

其中$C$是归一化函数使得(1)成立。

现在对其中波长关系为$dk$的部分分析，有

$$i(\Delta L)=C i(k) d k (1+\cos{k\Delta}L)$$

然后积分得到

$$I(\Delta L)=C\int_{0}^{\infty}i(k)dk(1+\cos{k\Delta L})$$

右边有一个$I_0$,减到左边

$$I(\Delta L)-I_0=C\int_{0}^{\infty}i(k)\cos{k\Delta L}d k\tag{3}$$

现在可以看到为什么要舍弃(1)的写法，我们需要一个$\cos{ak}d k$若用波长表示则是$\cos{a/\lambda}d\lambda$，
现在对(3)分析，观察到这是一个高度类似傅里叶积分的式子，注意此时$\Delta L$恒大于0，所以这不是傅里叶积分，而是半幅傅里叶级数的推广。

半幅傅里叶积分

现在来做半幅傅里叶的推到。因为仅含有$\cos$项，直接写出半幅傅里叶级数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{\frac{n\pi x}{L}}$$

其中根据(3)常数项肯定为0
然后根据傅里叶级数有

$$a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx$$

将L拓展到无穷大
令

$$\int_0^{\infty}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx=A(\frac{n\pi}{L})$$

$$a_n=\frac{2}{\pi}(\frac{\pi}{L}A(\frac{n\pi}{L}))$$

带入半幅傅里叶级数
得到

$$f(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi}{L}A(\frac{n\pi}{L})\cos{\frac{n\pi x}{L}}$$

令$\frac{n\pi}{L}=\omega$,那么$\frac{\pi}{L}=d\omega$，上式在L趋于无穷时变为积分

$$f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos{\omega x}d\omega$$

其中$A(\omega)=\int_0^{\infty}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx$，这就是半幅傅里叶变换的推导过程。
对于(3)有

$$C i(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}(I(\Delta L)-I_0)\cos{k\Delta L}d (\Delta L)$$

即只要知道了$I(\Delta L)$就可以得到$i(k)$，这就是使用迈克尔逊干涉仪测量单色光频谱的原理。
计算机实现，只需要不断的对k取循环做上述积分即可。
今日笑话 :$\sin对\cos说：“今晚我们是\tan还是\cot呢？$